Die bei der numerischen Simulation verschiedener physikalischer und techni scher Vorgange auftretenden Differentialgleichungen fUhren nach Linearisierung und Diskretisierung zu sehr groBen linearen Gleichungssystemen, deren Be handlung mittels traditioneller direkter oder iterativer Losungsverfahren selbst auf modernsten Computern entweder gar nicht, oder nur mit unertraglich groBem Rechenaufwand und langer Rechenzeit moglich sind. 1m letzten Jahrzehnt sind nun effiziente Verfahren entwickelt worden, die den Losungsvorgang entscheidend beschleunigen. Hierbei sind hauptsachlich Mehr gittermethoden sowie Multilevel-Vorkonditionierer zu nennen, beide mit je weils verschiedenen Herleitungs- und Betrachtungsweisen sowie unterschied lichen Beweismethoden. Daneben ist durch den Einsatz paralleler Rechen systeme eine weitere Beschleunigung des Losungsvorgangs moglich geworden. Hierbei haben sich Gebietszerlegungsverfahren, unter anderem in Verbindung mit oben erwahnten Methoden, als beson
ders geeignet erwiesen. In dies em Buch stellen wir nun eine neue Sichtweise und Interpretationsmoglich keit fUr Mehrgitterverfahren, Multilevel-Vorkonditionierer und Gebietszerle gungsmethoden fUr elliptische Probleme VOL Dazu verwenden wir ein Erzeu gendensystem, das die Knotenbasen verschiedener Diskretisierungslevel umfaBt. Der Ritz-Galerkin-Ansatz fiihrt dann zu einem semidefiniten Gleichungssystem mit optimaler Kondition der Ordnung 0(1), wenn man von den fiir Iterations verfahren i.a. bedeutungslosen verschwindenden Eigenwerten absieht. Die oben erwahnten effizienten Verfahren (Mehrgitter, Multilevel-Vorkonditionierer) las sen sich nun als traditionelle iterative Methoden (GauB-Seidel, Jacobi-Vorkon ditionierer) iiber diesem semidefiniten System interpretieren. Bei der Konver genzanalyse dieser modernen Methoden gehen jetzt im Prinzip die gleichen Terme ein, wie schon bei der Analyse traditioneller Iterationsverfahren.
1 Einleitung.- 2 Das semidefinite System.- 2.1 Zerlegung des Approximationsraumes.- 2.2 Das Erzeugendensystem.- 2.3 Die Ritz-Galerkin-Diskretisierung und das semidefinite System.- 3 Iterative Methoden für das semidefinite System.- 3.1 Ein Überblick über iterative Methoden.- 3.2 Jacobi- und Gauß-Seidel-artige Iterationsverfahren.- 3.3 Zur Konvergenz der Verfahren.- 4 Gradientenorientierte Verfahren für das semidefinite System.- 4.1 Das Residuum und vorkonditionierte Gradientenverfahren.- 4.2 BPX-Vorkonditionierer und verwandte Vorkonditionierer.- 4.3 Konditionsbetrachtungen.- 4.4 Effiziente Realisierung.- 5 Levelweise Gauß-Seidel-Iteration für das semidefinite System.- 5.1 Levelorientierte Partitionierung des semidefiniten Systems.- 5.2 Gauß-Seidel-Iteration und Mehrgitterverfahren.- 5.3 Konvergenzbetrachtungen.- 6 Punktweise Gauß-Seidel-Iteration für das semidefinite System.- 6.1 Punktorientierte Partitionierung des semidefiniten Systems.- 6.2 Konvergenzbetrachtungen.- 7 Gebietsor
ientierte Block-Gauß-Seidel-Verfahren.- 7.1 Gebietsweise Blockpartitionierung des semidefiniten Systems.- 7.2 Zur Vorkonditionierung des Schur-Komplements.- 8 Numerische Experimente zur Konvergenz der Verfahren.- 9 Zur Parallelisierung.- 9.1 Parallelisierung levelartiger Algorithmen.- 9.2 Parallelisierung punkt- und gebietsorientierter Algorithmen.- 9.3 Aufwandsbetrachtungen.- 10 Zur Robustheit.- 10.1 Robustheit von Mehrgitterverfahren.- 10.2 Robustheit von Multilevel-Vorkonditionierern.- 10.3 Punktorientierte Verfahren und robuste Verallgemeinerungen.- 11 Mittels Semivergröberung erweitertes Erzeugendensystem.- 11.1 Das erweiterte Erzeugendensystem.- 11.2 Iterative Verfahren für das erweiterte semidefinite System und numerische Experimente zur Konvergenz der einzelnen Verfahren.-12 Abschließende Bemerkungen.- Literatur.- Abbildungsverzeichnis.- Tabellenverzeichnis.
Dr. Michael Griebel ist Ordinarius für Wissenschaftliches Rechnen am Institut für Angewandte Mathematik der Universität in Bonn.
